Question

一艘輪船在航行過程中的燃料費與它的速度的立方成正比例關系，其他與速度無關的費用每小時96元，已知在速度為每小時10公里時，每小時的燃料費是6元，要使行駛1公里所需的費用總和最小，這艘輪船的速度應確定為每小時多少公里？

Answer 1

分析：若設輪船的速度為x，比例系數為k，（k＞0），則每小時的燃料費為kx³ ，由x=10，可得 k=

3

500

；從而可得每公里航行費用為y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

，求導函數，從而可確定函數的最值．

解答：解：設輪船的速度為x千米/小時（x＞0），
則航行1公里的時間為t=

1

x

小時．
依題意，設與速度有關的每小時燃料費用為p=kx³，則6=k•10³⇒k=

3

500

，
∴p=

3

500

x3，
故每公里航行費用為y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

∴y'=

3

250

(x-

8000

x2

），
由y'=0⇒x=20，
且0＜x＜20時，y'＜0；x＞20時，y'＞0．
∴x=20時，y達到最小值

3

500

(

16000

20

+202)=

36

5

元．
答：輪船的速度應定為每小時20公里，行駛1公里所需的費用總和最小．

點評：本題考查了利用導數求函數最值的應用問題，本題的關鍵是根據題意，正確列出函數解析式，從而求得結果．