Question

設函數
（I）當a=b=時，求函數f（x）的單調區間；
（II）令＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤恒成立，求實數a的取值范圍；
（III）當a=0，b=-1時，方程f（x）=mx在區間[1，e²]內有唯一實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．（1分）
當a=b=時，f（x）=lnx-x²-x，
f′（x）=-x-=．（2分）
令f^′（x）=0，解得x=1．
當0＜x＜1時，f^′（x）＞，此時f（x）單調遞增；
當x＞1時，f^′（x）＜0，此時f（x）單調遞減．（3分）
所以函數f（x）的單調增區間（0，1），函數f（x）的單調減區間（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）F（x）=lnx+，x∈（0，3]，
所以k=F′（x0）=≤，，在x₀∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥（-，x₀²+x₀）max，x₀∈（0，3]（7分）
當x₀=1時，-x₀²+x₀取得最大值 ．所以a≥．（9分）
（Ⅲ）當a=0，b=-1時，f（x）=lnx+x，
因為方程f（x）=mx在區間[1，e²]內有唯一實數解，，
所以lnx+x=mx有唯一實數解．
∴，
設g（x）=，則g′（x）=．
令g^′（x）＞0，得0＜x＜e；
g^′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在區間[1，e]上是增函數，在區間[e，e²]上是減函數，
g（1）=1，g（e²）=1+=1+，g（e）=1+，
所以m=1+，或1≤m＜1+．
分析：（I）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（II）先構造函數F（x）再由以其圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤恒成立，知導函數≤恒成立，再轉化為所以a≥（-，x₀²+x₀）max求解．
（III）先把程f（x）=mx有唯一實數解，轉化為有唯一實數解，再利用單調函數求解．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值、不等式、方程的解等基本知識，同時考查運用導數研究函數性質的方法，分類與整合及化歸與轉化等數學思想．