Question

【題目】函數（a為常數，且）在處取得極值．

（1）求實數a的值，并求的單調區間；

（2）關于x的方程在上恰有1個實數根，求實數b的取值范圍；

（3）求證：當時，．

Answer 1

【答案】（1），的單調遞增區間是，函數的單調遞減區間是．（2）．（3）見解析

【解析】

（1）首先寫出函數的定義域，之后求函數的導函數，利用條件，得到等式，解出，代入導函數解析式，令，，求得函數的單調增、減區間；

（2）將的解析式代入方程，化簡得，令，利用導數研究其單調性，結合題意，得到不等式組，求得結果；

（3）結合（1），得到，進一步得到成立，對依次取值，累加得到結果.

（1），，由題意得，，

得，

當時，，

令，得，

令，得，

∴函數的單調遞增區間是，

函數的單調遞減區間是．

（2）關于x的方程，

化簡為，

令，

，

令，解得或1，

令，得，

函數在上單調遞增，

關于x的方程在上恰有1個實數根，

則只需

得．

（3）由（1）知，當時，，即，

當時，令，則成立，

即成立

將n依次取1，2，3，4，5，…………，

可得，

，

……

，

，

累加求和得：，

即當時，成立．