Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)f（x）取得極值-2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由奇函數(shù)的定義利用待定系數(shù)法求得d，再由x=1時(shí)f（x）取得極值-2．解得a，c從而確定函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極大值．
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．
解答：解：（1）由奇函數(shù)的定義，應(yīng)有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cxf'（x）=3ax²+c
由條件f（1）=-2為f（x）的極值，必有f'（1）=0，故
解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-∞，-1）上是增函數(shù)
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）＜0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（-1，1）上是減函數(shù)
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）在單調(diào)區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)
所以，f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數(shù)，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，對(duì)任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力．