Question

設函數f（x）=x³+ax²-9x-1（a＜0）．若曲線y=f（x）的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行，求：
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導函數的最小值，最小值與直線12x+y=6的斜率相等建立等式關系，求出a的值即可；
（2）先求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，解得的區間就是所求．
解答：解：（Ⅰ）因f（x）=x²+ax²-9x-1
所以f'（x）=3x²+2ax-9=
即當x=時，f'（x）取得最小值．
因斜率最小的切線與12x+y=6平行，即該切線的斜率為-12，
所以
解得a=±3，由題設a＜0，所以a=-3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-3，因此f（x）=x³-3x²-9x-1，f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3（x+1）
令f'（x）=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-1）上為增函數；
當x∈（-1，3）時，f'（x）＜0，故f（x）在（-1，3）上為減函數；
當x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在（3，+∞）上為增函數．
由此可見，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1）和（3，+∞）；
單調遞減區間為（-1，3）．
點評：本小題主要考查導數的幾何意義，及運用導數求函數的單調區間、一元二次不等式的解法等基礎知識，屬于基礎題．