Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現有數據：
①；②a=1；③；建立適當的空間直角坐標系，
（ I）當BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可能取所給數據中的哪些值？請說明理由；
（ II）在滿足（ I）的條件下，若a取所給數據的最小值時，這樣的點Q有幾個？若沿BC方向依次記為Q₁，Q₂，…，試求二面角Q₁-PA-Q₂的大小．

Answer 1

【答案】分析：（ I）建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，設出點Q的坐標，進而得到向量PQ，QD的坐標，再結合PQ⊥QD即可求出結論；
（ II） 由（Ⅰ）知，此時或，即滿足條件的點Q有兩個；再結合PA⊥平面ABCD即可得到∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角，再代入向量的夾角計算公式即可．
解答：解：（ I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：
A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
設Q（a，x，0）（0≤x≤2），…（2分）
∵，
∴由PQ⊥QD得．
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]…（4分）
∴在所給數據中，a可取和a=1兩個值．…（6分）
（ II）  由（Ⅰ）知，此時或，即滿足條件的點Q有兩個，…（8分）
根據題意，其坐標為和，…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．…（10分）
由=，
得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°．…（12分）
點評：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題第一問的關鍵在于結合二次函數的性質得到a可取和a=1兩個值．