Question

如圖2-2-10,ABC—A₁B₁C₁,已知平面平行于三棱錐V-A₁B₁C₁的底面ABC,等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直,且∠ABC=90°,設(shè)AC=2a,BC=a.

圖2-2-10

(1)求證:直線(xiàn)B₁C₁是異面直線(xiàn)AB₁與A₁C₁的公垂線(xiàn);

(2)求點(diǎn)A到平面VBC的距離;

(3)求二面角A-VB-C的大小.

Answer 1

(1)證明:∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC,

∴B₁C₁∥BC,A₁C₁∥AC.

∵BC⊥AC,

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又∵平面AB₁C⊥平面ABC,平面AB₁C∩平面ABC=AC,

∴BC⊥平面AB₁C.

∴BC⊥AB₁.

∴B₁C₁⊥AB₁.

又∵A₁C₁∩B₁C₁=C₁,B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線(xiàn).

(2)解法一:過(guò)A作AD⊥B₁C于D,

∵△AB₁C為正三角形,∴D為B₁C的中點(diǎn).

∵BC⊥平面AB₁C,∴BC⊥AD.

又B₁C∩BC=C,∴AD⊥平面VBC.

∴線(xiàn)段AD的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面VBC的距離.

在正△AB₁C中,AD=·AC=×2a=a,

∴點(diǎn)A到平面VBC的距離為a.

解法二:取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)B₁O,則B₁O⊥平面ABC,且B₁O=a.

由(1)知BC⊥B₁C,設(shè)A到平面VBC的距離為x,

∴,即×BC·AC·B₁O=×BC·B₁C·x,解得x=a,

即A到平面VBC的距離為a,則d=|||·cos〈,n〉|=|||·a.

所以,A到平面VBC的距離為a.

(3)解法一:過(guò)D點(diǎn)作DH⊥VB于H,連結(jié)AH,由三垂線(xiàn)定理知AH⊥VB,

∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角.

在Rt△AHD中,AD=a.△B₁DH∽△B₁BC..

∴DH=a.

∴tan∠AHD=.

∴∠AHD=arctan.

所以,二面角A-VB-C的大小為arctan.

解法二:取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)B₁O,易知OB₁⊥底面ABC,過(guò)O作直線(xiàn)OE∥BC交AB于E.

取O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),OE,OC,OB₁所在的直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0,-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).

(1)∵=(-a,0,0),=(0,a,a),

∴·=(-a,0,0)·(0,a,a)=0,∴⊥.∴BC⊥AB₁.

又∵B₁C₁∥BC,∴B₁C₁⊥AB₁.

由已知BC⊥AC,AC∥A₁C₁.∴BC⊥A₁C₁.

而B(niǎo)C∥B₁C₁,∴B₁C₁⊥A₁C₁.

又B₁C₁與AB₁,A₁C₁顯然相交,∴B₁C₁是AB₁與A₁C₁的公垂線(xiàn).

(2)設(shè)平面VBC的一個(gè)法向量n=(x,y,z),

又=(0,-a,a),

?由

取z=1,得n=(0,,1),

點(diǎn)A到平面VBC的距離,即在平面VBC的法向量n上的投影的絕對(duì)值.

∵=(0,a,a),∴設(shè)所求距離為d,則d=|||·cos〈,n〉|

=|||·|==a.

∴A到平面VBC的距離為a.

(3)設(shè)平面VAB的一個(gè)法向量m=(x₁,y₁,z₁),

由由

取z₁=1,m=(,1),

∴cos〈m,n〉=.∵二面角A-VB-C為銳角,

所以二面角A-VB-C的大小為arccos.