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已知an=n∈N*求證：an＜1．
【答案】分析：首先分析題目已知an=求證：an＜1．考慮到可以應用數學歸納法求解，首先驗證當n=1時，不等式成立，再假設n=k（k≥1）時，不等式成立，推得當n=k+1時不等式也成立．即得證．
解答：證明：（1）當n=1時，a1=＜1，不等式成立．
（2）假設n=k（k≥1）時，不等式成立，即ak=＜1
亦即1+22+32+…+k2＜（k+1）k
當n=k+1時：ak+1=＜==（）k＜1．
所以n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）知，對一切n∈N*，不等式都成立．
即an＜1得證．
點評：此題主要考查由數學歸納法證明不等式，數學歸納法在高考中屬于重要的考點，應用廣泛，需要同學們靈活掌握．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設A（x1，y1），B（x2，y2）是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O為坐標原點，已知點M的橫坐標為
1
2
．
（Ⅰ）求證：點M的縱坐標為定值；
（Ⅱ）定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的Sn，設an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若對于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，試求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•西城區一模）已知集合Sn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．對于A=（a1，a2，…，an），B=（b1，b2，…，bn）∈Sn，定義
AB
=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)；λ（a1，a2，…，an）=（λa1，λa2，…，λan）（λ∈R）；A與B之間的距離為d(A，B)=
n
i=1
|ai-bi|．
（Ⅰ）當n=5時，設A=（1，2，1，2，a5），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a5；
（Ⅱ）（�。┳C明：若A，B，C∈Sn，且?λ＞0，使
AB
=λ
BC
，則d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（ⅱ）設A，B，C∈Sn，且d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）．是否一定?λ＞0，使
AB
=λ
BC
？說明理由；
（Ⅲ）記I=（1，1，…，1）∈Sn．若A，B∈Sn，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知{an}是正數組成的數列，a1=1，且點數學公式在函數y=x2+1的圖象上．數列{bn}滿足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年湖北省黃岡中學高三（上）10月月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知{an}是正數組成的數列，a1=1，且點在函數y=x2+1的圖象上．數列{bn}滿足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省“鄂南高中、華師一附中、黃岡中學、黃石二中、荊州中學、襄樊四中、襄樊五中、孝感高中”八校高三第二次聯考數學試卷（文科））（解析版） 題型：解答題

已知{an}是正數組成的數列，a1=1，且點在函數y=x2+1的圖象上．數列{bn}滿足b1=0，bn+1=bn+3an（n∈N*）．
（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（II）若cn=anbncosnπ（n∈N*），求數列{cn}的前n項和Sn．

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