Question

如圖，F為雙曲線C：(a＞0,b＞0)的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點.已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|.

(1)寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式；

(2)當λ=1時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=12，求此時的雙曲線方程.

Answer 1

解：（1）∵四邊形OFPM是平行四邊形，

∴|OF|=|FM|=c，作右準線交PM于H，則|PM|=|PH|+，

又=，e²-λe-2=0.

（2）當λ=1時，e=2，c=2a，b²=3a²，

所以雙曲線方程為，

設P（x₀，y₀），則由|OF|=|PM|得x₀+=c；x₀=；y₀=.

所以直線OP的斜率為，

則直線AB的方程為（x-2a），

代入雙曲線方程得4x²+20ax-29a²=0，

又|AB|=12，

由|AB|=得12=，

解得a²=1，b²=3，所以雙曲線方程為.