Question

（2008•鹽城一模）已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分V_P-DCMA：V_M-ACB=2：1．

Answer 1

分析：（I）根據平面與平面垂直的性質定理可知DC⊥平面PAD，又DC?面PCD，再根據平面與平面垂直的判定定理可知平面PAD⊥平面PCD；
（II）由（I）知PA⊥平面ABCD，根據平面與平面垂直的判定定理可知平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，最后根據V_PDCMA：V_MACB=2：1建立等式關系，可求出點M的位置．

解答：（I）證明：依題意知：CD⊥AD．又∵面PAD⊥面ABCD
∴DC⊥平面PAD．
又DC?面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD；
（II）解：由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
設MN=h，則VM-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

VP-ABCD=

1

3

S梯形ABCD•PA=

1

3

×

(1+2)

2

×1×1=

1

2

要使V_PDCMA：V_MACB=2：1，即(

1

2

-

h

3

)：

h

3

=2：1，解得h=

1

2

（或V_P-ABCD=3V_M-ABC）即M為PB的中點．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，以及棱柱體積的度量，同時考查了推理論證的能力和計算能力，屬于基礎題．