Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，，，點、分別為棱、的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）三棱錐的體積為.

試題分析：（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，得到，再利用直線平面平行的判定定理得到平面；（2）先證明平面，利用（1）中的條件得到平面，再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面，在證明平面的過程中，在等腰三角形中利用三線合一得到，通過證明平面得到，然后利用直線與平面垂直的判定定理即可證明平面；（3）利用題中的條件平面，在計算三棱錐的體積中，選擇以點為頂點，所在平面為底面的三棱錐來計算其體積，則該三棱錐的高為，最后利用錐體的體積計算公式即可.
試題解析：（1）取的中點，連結、，
∴為的中位線，，

∵四邊形為矩形，為的中點，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，
∴平面；
（2） 底面，
，，又，，
平面， 又平面， ，
直角三角形中，，
為等腰直角三角形，，
是的中點，，又，平面，
，平面，
又平面， 平面平面；
（3）三棱錐即為三棱錐，
是三棱錐的高，
中，，，
三棱錐的體積，
.