Question

【題目】設函數，其中.

（1）當時，求函數的反函數；

（2）若，求函數的值域并寫出函數的單調區間；

（3）記函數，若函數的最大值為5，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4；（2）f（x）的值域為（4，+∞），函數f（x）的單調區間為（﹣∞，+∞）；（3）（﹣∞，].

【解析】

（1）當a＜0時，f（x）＝4x+4，即可解得f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4，

（2）設2x＝t，則f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，分段求出函數的值域并判斷判斷區間，

（3）記函數g（x）（0≤x≤2），設2x＝t，則1≤t≤4，g（t），分類討論，求出函數的最值即可．

（1）當a＜0時，f（x）＝4x﹣a2x+4+a2x＝4x+4，

∴4x＝y﹣4，y＞4，

∴x＝log4（y﹣4），

∴y＝log4（x﹣4），

∴f﹣1（x）＝log4（x﹣4），x＞4

（2）當a＝5時，f（x）＝|4x﹣52x+4|+52x，

設2x＝t，則4x﹣52x+4＝t2﹣5t+4，且，

當t2﹣5t+4＜0時，解得1＜t＜4，

當t2﹣5t+4≥0時，解得，

∴f（t）＝|t2﹣5t+4|+5t，

當t≥4時，f（t）在（0，1）和（4，+∞）上單調遞增，則4＜f（t）≤5或f（t）≥20，

當1＜t＜4時，f（t）＝﹣t2+10t﹣4＝﹣（t﹣5）2+21，

∴f（t）在（1，4）上單調遞增，

∴f（1）＜f（t）＜f（4），

∴5＜f（t）＜20，

綜上所述f（x）的值域為（4，+∞），函數f（x）的單調區間為（﹣∞，+∞），

（3）記函數g（x）（0≤x≤2），

設2x＝t，則1≤t≤4，

∴g（t），

當a≤0時，g（t），在[1，2]上單調遞減，在（2，4]上單調遞增，

∴g（t）max＝max{g（1），g（5）}

∵g（1）＝5，g（4）＝5，

∴函數g（t）的最大值為5，

即當a≤0時，滿足函數g（x）的最大值為5，

當a＞0時，由t2﹣at+4≥0，即a≤t，

則由（2）可得y＝t，在[1，2]上單調遞減，在（2，4]上單調遞增，

∴（t）min＝24，

∴當0＜a≤4時，g（t），故可知滿足函數g（x）的最大值為5，

當a＞4時，g（t），由于y＝t，在[1，2]上單調遞減，在（2，4]上單調遞增，∴t，

當a＞5時，g（t）

∵y＝﹣（t），在[1，2]上單調遞增，在（2，4]上單調遞減，

∴ymax＝﹣（2）+2a＝﹣4+2a＞6，此時不滿足函數g（t）的最大值為5，

當4＜a≤5時，，∴，

∴函數g（t）的最大值為，當時，即時，滿足最大值為5，

當a＞時，不滿足函數g（t）的最大值為5，

綜上所述當a∈（﹣∞，]時，函數滿足函數g（x）的最大值為5.