Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M，N分別為PB，AC的中點(diǎn)，
（1）求證：MN∥平面PAD；           
（2）求點(diǎn)B到平面AMN的距離．

Answer 1

分析：（1）連接BD，則BD∩AC=N，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得MN∥PD，利用線面平行的判定，即可得到MN∥平面PAD；           
（2）利用V_M-ABN=V_B-AMN，可求點(diǎn)B到平面AMN的距離．

解答：（1）證明：連接BD，則BD∩AC=N
∵M(jìn)，N分別為PB，AC的中點(diǎn)，
∴MN是△BPD的中位線
∴MN∥PD
∵M(jìn)N?平面PAD，PD?平面PAD
∴MN∥平面PAD；
（2）解：設(shè)點(diǎn)B到平面AMN的距離為h，則
∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，
∴AM=AN=

2

2

，MN=

2

2

∴S△AMN=

3

8

∵S△ABN=

1

4

，M到平面ABN的距離為

1

2

∴由V_M-ABN=V_B-AMN，可得

1

3

×

1

4

×

1

2

=

1

3

×

3

8

h
∴h=

3

3

，即點(diǎn)B到平面AMN的距離為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．