Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數、，若存在實數、使，則稱函數是由“基函數、”生成的.

（1）和生成一個偶函數，求的值；

（2）若由，（且）生成，求的取值范圍；

（3）試利用“基函數，”生成一個函數，使滿足下列條件：①是偶函數；②有最小值1，請求出函數的解析式并進一步研究該函數的單調性（無需證明）.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3），在遞減，在遞增

【解析】

（1）由列方程，根據為偶函數求得的關系式，進而求得的值.

（2）由列方程組，化簡后求得的關系式，利用導數求得的取值范圍.

（3）構造函數，并證得其奇偶性和單調性.

（1）由為偶函數可知，所以.

（2）由得，所以，由于，所以可化簡得，所以.構造函數，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以函數在處，有極大值，在處有極小值.所以的取值范圍是.

（3）構造函數，，所以為偶函數.由于，所以有最小值符合題意.在遞減，在遞增.

另補證明：由于為偶函數，只需求得上的單調性.構造函數，，由于時，，故，所以函數在上遞增.根據復合函數單調性同增異減可知，函數在上遞增.根據為偶函數可知，函數在遞減.