Question

已知函數f(x)=

x

1+x2

．
（1）證明函數具有奇偶性；
（2）證明函數在[0，1]上是單調函數；
（3）求函數在[-1，1]上的最值．

Answer 1

（1）由題意，對任意設x∈R都有f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)，
故f（x）在R上為奇函數；（3分）
（2）任取x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，

∴x1-x2＜0，x1x2＜1，1+x12＞0，1+x22＞0， ∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)

故在[0，1]上為增函數；（7分）
（3）由（1）（2）可知f（x）在[-1，1]上為增函數，
故f（x）在[-1，1]上的最大值為f(1)=

1

2

，最小值為f(-1)=-

1

2

．（10分）