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已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為M(x0,y0),記函數f(x)的導函數為f′(x),f′(x)的導函數為f″(x),則有f″(x0)=0.若函數f(x)=x3-3x2,則可求得f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+
…+f(
4022
2012
)
+f(
4023
2012
)
=(  )
分析:由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點(1,-2)對稱,即f(x)+f(2-x)=-4,而要求的式子可用倒序相加法求解,共有2011對-4和一個f(1)=-2,可得答案.
解答:解:由題意f(x)=x3-3x2,則f′(x)=3x2-6x,f″(x)=6x-6,
由f″(x0)=0得x0=1,而f(1)=-2,故函數f(x)=x3-3x2關于點(1,-2)對稱,即f(x)+f(2-x)=-4.
f(
1
2012
)+f(
2
2012
)+
 …+f(
4022
2012
)
 +f(
4023
2012
)
=[f(
1
2012
)+f(
4023
2012
)
]+[f(
2
2012
)+f(
4022
2012
)
]+…+[f(
2011
2012
)+f(
2013
2012
)
]+f(
2012
2012
)

=-4×2011+(-2)=-8046,
故選D.
點評:本題為新定義問題,讀懂題目所給的意思是解決問題的關鍵,屬基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2009•海淀區二模)已知函數f(x)=a-2x的圖象過原點,則不等式f(x)>
34
的解集為
(-∞,-2)
(-∞,-2)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a|x|的圖象經過點(1,3),解不等式f(
2x
)>3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a•2x+b•3x,其中常數a,b滿足a•b≠0
(1)若a•b>0,判斷函數f(x)的單調性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時的x的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數F(x)是奇函數;③當a<0時,若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號是
 

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