Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心為M（x₀，y₀），記函數f（x）的導函數為f′（x），f′（x）的導函數為f″（x），則有f″（x₀）=0．若函數f（x）=x³-3x²，則可求得f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+…+f(

4022

2012

)+f(

4023

2012

)=（　　）

A．4023

B．-4023

C．8046

D．-8046

Answer 1

分析：由題意對已知函數求兩次導數可得圖象關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2011對-4和一個f（1）=-2，可得答案．

解答：解：由題意f（x）=x³-3x²，則f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函數f（x）=x³-3x²關于點（1，-2）對稱，即f（x）+f（2-x）=-4．
∴f(

1

2012

)+f(

2

2012

)+ …+f(

4022

2012

) +f(

4023

2012

)=[f(

1

2012

)+f(

4023

2012

)]+[f(

2

2012

)+f(

4022

2012

)]+…+[f(

2011

2012

)+f(

2013

2012

)]+f(

2012

2012

)
=-4×2011+（-2）=-8046，
故選D．

點評：本題為新定義問題，讀懂題目所給的意思是解決問題的關鍵，屬基礎題．