Question

設等比數列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數列{a_n}滿足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試確定實數t的值，使得數列{b_n}為等差數列．

Answer 1

解：（1）由題意，6a₃=8a₁+a₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，
因為q為正整數，所以q=2，又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）當n=1時，2-（t+b₁）b₁=0，得b₁=2t-4，
同理可得：n=2時，b₂=16-4t，n=3時，b₃=12-2t，
則由b₁+b₃=2b₂，得t=3，
并且，當t=3時，，
得b_n=2n，由b_n+1-b_n=2，知此時數列{b_n}為等差數列．
故答案為：t=3．
分析：（1）由題意，6a₃=8a₁+a₅，則6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，因為q為正整數，所以q=2，故可得通項；
（2）分別令n=1，2，3，可得得b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，由b₁+b₃=2b₂，可得得t=3，代入原式可得，得b_n=2n，由等差數列的定義可判．
點評：本題為等差、等比數列的綜合應用，正確運用公式是解決問題的關鍵，屬基礎題．