Question

用反證法證明：關(guān)于x的方程x²+4ax-4a+3=0、x²+（a-1）x+a²=0、x²+2ax-2a=0，當(dāng)a≤-

3

2

或a≥-1時(shí)，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：至少有一個(gè)方程有實(shí)根的對(duì)立面是三個(gè)方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對(duì)立面情況單一，故求解此類問題一般先假設(shè)沒有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實(shí)數(shù)a的取值范圍，其補(bǔ)集即為個(gè)方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個(gè)方程有實(shí)根成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．此種方法稱為反證法

解答：解：設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)根，
則有判別式都小于零得：

- 3 2 ＜a＜ 1 2 a＞ 1 3 或a＜-1 -2＜a＜0

?-

3

2

＜a＜-1，
與a≤-

3

2

或a≥-1矛盾，
故原命題成立；

點(diǎn)評(píng)：本題考查反證法，解題時(shí)要合理地運(yùn)用反證法的思想靈活轉(zhuǎn)化問題，以達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時(shí)，若發(fā)現(xiàn)正面的求解分類較繁，而其對(duì)立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時(shí)的參數(shù)的取值范圍，然后求此范圍的補(bǔ)集，即得所求范圍，本題中三個(gè)方程都是一元二次方程，故求解時(shí)注意根的判別式的運(yùn)用