Question

已知函數f（x）=x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象相交于一點P（t，0），且t≠0兩函數的圖象在點P處有相同的切線．
（1）當t=1時，求a，b，c．
（2）若函數y=g（x）-f（x）在（-1，3）上單調遞增，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0進而得到3+a=2b，且1+a=0，b+c=0，解之可得a，b，c的答案．             
（2）由題意得a=-t²，b=t，c=-t³，所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³，所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．由題意得函數y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調遞減，所以y′≤0在（-1，3）上恒成立．所以y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0，即可解出答案t≥3或t≤-9．

解答：解：（1）由已知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0
∴3+a=2b，且1+a=0，b+c=0          
得：a=-1，b=1，c=-1．            
（2）由題意得f（t）=t³+at=0，g（t）=bt²+c=0，且f′（t）=g′（t），
所以a=-t²，b=t，c=-t³
所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³
所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）
因為y=g（x）-f（x）在（-1，3）上單調遞增
所以函數y=f（x）-g（x）在（-1，3）上單調遞減，
因為y′=3x²-2tx-t²開口向上，
∴y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0；即3+2t-t²≤0，27-6t-t²≤0
所以：t≥3或t≤-9．
所以t的取值范圍t≥3或t≤-9．

點評：本題注意考查利用導數求曲線的切線和利用導數判斷函數的單調性，解決此類問題的關鍵是正確理解導數的幾何意義以及正確的進行導數運算．