Question

已知雙曲線(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂,P為雙曲線左支上一點,P到左準線的距離為d且d、|PF₁|、|PF₂|成等比數列.

(1)若y=3x是已知雙曲線的一條漸近線,求P點的坐標;

(2)求此雙曲線離心率e的取值范圍.

Answer 1

解:(1)因雙曲線的一條漸近線的方程為y=x,故,即b=a.且半焦距c==2a,離心率e=2.

設點P的坐標為(x₀,y₀).

∵d、|PF₁|、|PF₂|成等比數列,

∴

∴|PF₂|=2|PF₁|,|PF₁|=2d.

又∵|PF₂|-|PF₁|=2a,故|PF₁|=2a,

∴a=d.

∴|x₀|=|d+|=|a+|=a.

∵x₀＜0,則x₀=-a.

∵P(x₀,y₀)在雙曲線上,∴

∴y₀=±a.

∴P點的坐標為(-a,±a).

(2)由題設知(e＞1),

∴

∴|PF₁|=,|PF₂|=.

∵|PF₁|+|PF₂|≥|F₁F₂|=2c=2ea,

∵,又∵a＞0,e＞1,

∴1+e≥e²-ee²-2e-1≤0.∴1＜e≤1+.