Question

設兩個向量

a

=（λ+2，λ²-cos²α）和

b

=（m，

m

2

+sinα），其中λ，m，α為實數．若

a

=2

b

，則

λ

m

的取值范圍是（　　）

A．[-6，8]

B．[4，8]

C．[-6，1]

D．（4，8]

Answer 1

分析：利用

a

=2

b

，得到λ，m的關系，然后利用三角函數的有界性求解

λ

m

的比值的取值范圍．為了簡化計算，把

λ

m

進行換元．

解答：解：由

a

=(λ+2，λ2-cos2α)，

b

=(m，

m

2

+sinα)，

a

=2

b

，
可得

λ+2=2m λ2-cos2α=m+2sinα

，
設

λ

m

=k代入方程組可得

km+2=2m k2m2-cos2α=m+2sinα

，
消去m化簡得(

2k

2-k

)2-cos2α=

2

2-k

+2sinα，
再化簡得(2+

4

k-2

)2-cos2α+

2

k-2

-2sinα=0，
再令

1

k-2

=t代入上式得
（sinα-1）²+（16t²+18t+2）=0可得-（16t²+18t+2）∈[0，4]，
即-4≤16t²+18t+2≤0，
解此不等式得：t∈[-1，-

1

8

]，
因而-1≤

1

k-2

≤-

1

8

，解得-6≤k≤1．
故選C．

點評：本小題主要考查向量、三角函數的有界性、、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．本題難度較大．