Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y-k-2≥0

，且4x²+y²的最小值為m，當(dāng)9≤m≤25時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件畫出可行域，z=4x²+y²，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）的z=4x²+y²值，從而得到A點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求得實(shí)數(shù)k的取值范圍即可．

解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，

z=4x²+y²，
表示可行域內(nèi)點(diǎn)在橢圓 z=4x²+y²上，
∵4x²+y²的最小值為m，且9≤m≤25，
∴當(dāng)在點(diǎn)A時(shí)，z最小值為9時(shí)，
求得橢圓9=4x²+y²與直線2x-y-1=0的交點(diǎn)A（x，y）滿足：
2x+y=

17

，∴實(shí)數(shù)k=

17

-2；
當(dāng)在點(diǎn)A時(shí)，z最小值為25時(shí)，
求得橢圓25=4x²+y²與直線2x-y-1=0的交點(diǎn)A（x，y）滿足：
2x+y=7，∴實(shí)數(shù)k=5；
實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

17

-2，5]．
故答案為：[

17

-2，5]．

點(diǎn)評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．解決時(shí)，首先要解決的問題是明白題目中目標(biāo)函數(shù)的意義．