Question

【題目】已知函數.

（1）若，證明:；

（2）當時，討論函數零點的個數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）將a＝0代入函數的表達式，求出，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，得到最大值是f（1）＜0即可；

（2）先求出函數的導數，通過討論a的范圍，從而求出函數的單調區間，得到函數的極值，進而求出函數的零點的個數．

（1）當時,，求導得，

令＞0，解得：0＜x＜1，令＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

f（x）最大值＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2＜0，∴a＝0時，f（x）＜0；

（2）函數，，

當時,由（1）可得函數，沒有零點；

當,即時，令得,或,得，

即函數的增區間為,，減區間為，而，

所以當時,；當時，；當時，時，，

所以函數在區間沒有零點,在區間有一個零點；

當,即時,恒成立，即函數在上遞增，

而，時，，所以函數在區間有一個零點；

當,即時,令得,或,，得；

即函數的增區間為,,減區間為，

因為,所以，又時，，

根據函數單調性可得函數在區間沒有零點,在區間有一個零點.

綜上：當時,沒有零點；當時，有一個零點.