Question

（2010•馬鞍山模擬）已知P是直線3x-4y+10=0上的動點，PA、PB是圓x²+y²=1的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為

3

．

Answer 1

分析：由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后將四邊形轉化為兩個直角三角形面積求解．

解答：解：∵圓的方程為：x²+y²=1
∴圓心C（0，0），半徑r=1
根據題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小
∵圓心到直線的距離為d=

10

9+16

=2
∴|PA|=|PB|=

d2-r2

=

3

∴S_PACB=2×

1

2

|PA|r=

3

故答案為：

3

點評：本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”．