Question

（2012•長春一模）設e₁、e₂分別為具有公共焦點F₁、F₂的橢圓和雙曲線的離心率，P是兩曲線的一個公共點，且滿足|

P F1

+

PF2

|=|

F1F2

|，則

e1e2

e 2 1 + e 2 2

的值為（　　）

• A．

  2

  2

• B．2
• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：利用|

P F1

+

PF2

|=|

F1F2

|，可知∠F₁PF₂=90°，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，不妨設m＞n，可得m²+n²=4c²，求出e1=

2c

m+n

，e2=

2c

m-n

，再求出平方倒數的和，即可得到結論．

解答：解：設|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
不妨設m＞n，由|

P F1

+

PF2

|=|

F1F2

|，可知∠F₁PF₂=90°
∴m²+n²=4c²，
∵e1=

2c

m+n

，e2=

2c

m-n

∴

1

e12

+

1

e22

=

2(m2+n2)

4c2

=2
∴

e1e2

e 2 1 + e 2 2

=

2

2

故選A．

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查圓錐曲線的離心率，正確求出離心率是關鍵．