Question

已知圓C：x²+y²=1，點P（x₀，y₀）在直線x-y-2=0上，O為坐標原點，若圓C上存在一點Q，使∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍是

[0，2]

．

Answer 1

分析：圓O外有一點P，圓上有一動點Q，∠OPQ在PQ與圓相切時取得最大值．如果OP變長，那么∠OPQ可以獲得的最大值將變小．因為sin∠OPQ=$\frac{QO}{PO}$，QO為定值，即半徑，PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈（0，$\frac{π}{2}$），所以∠OPQ也隨之變小．可以得知，當∠OPQ=30°，且PQ與圓相切時，PO=2，而當PO＞2時，Q在圓上任意移動，∠OPQ＜30°恒成立．因此滿足PO≤2，就能保證一定存在點Q，使得∠OPQ=30°，否則，這樣的點Q是不存在的；接下來進行計算：根據兩點間的距離公式表示出OP的長，再把P的坐標代入已知的直線方程中，用y₀表示出x₀，代入到表示出OP的長中，根據PO²≤4列出關于y₀的不等式，求出不等式的解集即可得到y₀的范圍，進而求出x₀的范圍．

解答：解：由分析可得：PO²=x₀²+y₀²，
又因為P在直線x-y-2=0上，所以x₀=y₀+2，
由分析可知PO≤2，所以PO²≤4，即2y₀²+4y₀+4≤4，變形得：y₀（y₀+2）≤0，解得：-2≤y₀≤0，
所以0≤y₀+2≤2，即0≤x0≤2，則x₀的取值范圍是[0，2]．
故答案為：[0，2]

點評：此題考查了點與圓的位置關系，以及函數的定義域及其求法．解題的關鍵是結合圖形，利用幾何知識，判斷出PO≤2，從而得到不等式求出參數的取值范圍．