Question

已知雙曲線S的中心是原點O，離心率為

5

，拋物線y²=2

5

x的焦點是雙曲線S的一個焦點，直線l：y=kx+1與雙曲線S交于A、B兩個不同點．
（I）求雙曲線S的方程；
（II）當以AB為直徑的圓經過原點O時，求實數k的值．

Answer 1

分析：（I）設出雙曲線S的方程，c為它的半焦距，根據已知得 c=

5

2

，

c

a

=

5

又b²=c²-a²=1，可以求出a，b，c的數值．
（II）由題意得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0，當△＞0且4-k⁴≠0時，l與雙曲線S有兩個不同交點A，B．解得 -2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2．設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因為以AB為直徑的圓經過原點O，得出

OA

•

OB

=0所以x₁x₂+y₁y₂=0．由根與系數的關系得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0解得k=±

2

．

解答：解：（I）由題意設雙曲線S的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)且c為它的半焦距，
根據已知得 c=

5

2

，

c

a

=

5

∴a=

1

2

∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以雙曲線S的方程為4x²-y²=1．
（II）由題意得

y=kx+1 4x2-y2=1

消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
當△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2時，
l與雙曲線S有兩個不同交點A，B
∴-2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵以AB為直徑的圓經過原點O，∴OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴

-2

4-k2

 +k2•

-2

4-k2

+k•

2k

4-k2

+1=0
化簡得k²=2
所以k=±

2

經檢驗k=±

2

符合條件．
所以當以AB為直徑的圓經過原點O時，實數k的值為 ±

2

．

點評：解決這種求雙曲線的方程問題關鍵是熟悉雙曲線中a，b，c之間的關系，解決求直線方程問題關鍵是把垂直問題轉化為向量垂直再結合者根與系數的關系列方程解方程即可，此知識點是高考考查的重點．