Question

四棱錐S-ABCD中，已知

AC

=（1，1，1），

AD

=（10，-5，5），

AB

=（-1，2，0），

SA

=（2，1，-3）．
（1）求證：BC∥AD；
（2）四邊形ABCD的面積；
（3）求四棱錐S-ABCD的體積，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由空間向量的坐標運算得出

BC

、

AD

的坐標，從而得到

AD

=5

BC

，可得

AD

∥

BC

，即BC∥AD；
（2）利用向量的夾角公式算出cos∠BAD=-

4

30

，從而sin∠BAD=

1-cos2∠BAD

=

14 30

，算出點B到AD的距離d=|

AB

|sin∠BAD=

21

3

，再利用梯形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積；
（3）經計算得

SA

•

AD

=0且

SA

•

AB

=0，可得

SA

⊥

AD

且

SA

⊥

AB

，得SA⊥平面ABCD，SA即為四棱錐S-ABCD的高，算出|

AD

|=

14

，利用錐體的體積公式即可算出四棱錐S-ABCD的體積．

解答：解：（1）∵

AC

=（1，1，1），

AB

=（-1，2，0），
∴

BC

=

AC

-

AB

=（2，-1，1），
∵

AD

=（10，-5，5），∴

AD

=5（2，-1，1）=5

BC

可得

AD

∥

BC

，即BC∥AD；
（2）∵

AB

=（-1，2，0），

AD

=（10，-5，5），
∴cos∠BAD=

-1×10+2×(-5)+0×5

5 •5 6

=-

4

30

可得sin∠BAD=

1-cos2∠BAD

=

14 30

，
∴點B到AD的距離d=|

AB

|sin∠BAD=

5

×

14 30

=

21

3

∵BC∥AD，且BC≠AD，|

BC

|=

6

且|

AD

|=5

6

∴梯形ABCD的面積為S_ABCD=

1

2

（|

BC

|+|

AD

|）×

21

3

=3

14

；
（3）∵

AD

=（10，-5，5），

AB

=（-1，2，0），

SA

=（2，1，-3）．
∴

SA

•

AD

=2×10+1×（-5）+（-3）×5=0，且

SA

•

AB

=2×（-1）+1×2+（-3）×0=0
由此可得

SA

⊥

AD

，

SA

⊥

AB

，得SA⊥平面ABCD
∵|

AD

|=

22+12+(-3)2

=

14

∴四棱錐S-ABCD的體積V=

1

3

S_ABCD×|

AD

|=

1

3

×3

14

×

14

=14．

點評：本題給出幾個空間向量的坐標，求由它們構成的四棱錐的體積．著重考查了空間向量的坐標運算、向量的夾角公式、模的公式和面積、體積公式等知識，屬于中檔題．