Question

國營二三八廠打算在2010年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用t（t≥0）萬元滿足x=4-

k

2t+1

（k為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件，已知2010年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍，（產品成本包括固定投入和再投入兩部分）．
（1）將該廠家2010年該廠產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；
（2）該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家所獲利潤最大？

Answer 1

分析：（1）由題意可知當t=0時，x=1由滿足x=4-

k

2t+1

，即可得出k值，從而得出每件產品的銷售價格，從而得出2010年的利潤的表達式即可；
（2）對于（1）中求得的解析式，根據其中兩項之積為定值結合利用基本不等式此函數的最大值及相應的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

解答：解：（1）由題意可知當t=0時，x=1（萬件），
∴1=4-k⇒k=3．（2分）
∴x=4-

3

2t+1

．
每件產品的銷售價格為1.5×

6+12x

x

（元），（4分）
∴2010年的利潤y=x•（1.5×

6+12x

x

）-（6+12x+t）（6分）
=3-t+6x=27-t-

18

2t+1

（t≥0）．（8分）
（2）∵t≥0時，2t+1≥1，令2t+1=m，則m≥1（12分）
∴2010年的利潤y=27.5-(

m

2

+

18

m

)≤27.5-6=21.5，當且僅當m=6（萬元）時，等號成立；
y_max=21.5（萬元）．（15分）
所以當該廠家2010年的促銷費用投入6萬元時，廠家的利潤最大．（15分）

點評：本題的考點是函數模型的選擇與應用，主要考查函數模型的選擇與應用、基本不等式的應用等基礎知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．