Question

已知雙曲線的中心在原點，離心率

3

，若它的一條準線與拋物線y²=4x的準線重合，求該雙曲線與拋物線y²=4x的交點到原點的距離．

Answer 1

分析：由離心率求得a和c的關系，根據雙曲線方程準線與拋物線y²=4x的準線重合，得其準線方程，求得a和c的關系，進而求得a，c，則求得b，雙曲線方程可得，把拋物線和雙曲線方程聯立求得交點坐標，則點到原點的距離可求．

解答：解：由雙曲線的中心在原點，離心率

3

，可得

c

a

=

3

．
由一條準線與拋物線y²=4x的準線重合，得準線為x=-1，
所以

a2

c

=1，
故a=

3

，c=3，b=

6

，
所以雙曲線方程為

x2

3

-

y2

6

=1，
由

x2 3 - y2 6 =1 y2=4x

得交點為（3，±2

3

），
所以交點到原點的距離是

9+12

=

21

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的漸近線和準線，以及拋物線的準線，屬中檔題．