Question

函數y=f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x-2010）的圖象關于點（2010，0）對稱．若實數x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，則x²+y²的取值范圍是（ ）
A．（0，16）
B．（0，36）
C．（16，36）
D．（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：本題考查的是函數的性質及其綜合應用，由已知條件我們可以判定函數y=f（x）是定義在R上的增函數，而且是奇函數，則不難求出滿足條件實數x，y滿足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，對應的平面區域，分析表達式x²+y²的幾何意義，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．
解答：解：∵函數y=f（x-2010）的圖象關于點（2010，0）對稱
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱
即函數y=f（x）為奇函數，
則f（-x）=-f（x）
則不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0可化為：
f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
又由函數y=f（x）是定義在R上的增函數
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即x²-6x+y²-8y+24＜0
即（x-3）²+（y-4）²＜1
則（x，y）點在以（3，4）為圓心，以1為半徑的圓內
而x²+y²表示的是圓內任一點到原點距離的平方
∴（5-1）²=16＜x²+y²＜（5+1）²=36
故選C
點評：函數的性質與圓的方程都是高考必須要考的知識點，此題巧妙地將函數的性質與圓的方程融合在一起進行考查，題目有一定的思維含量但計算量不大，所以題型設置為選擇題，該試題立足基礎考查了學生思維能力與運算能力以及靈活運用所學數學知識處理相關問題的能力，有一定的選拔作用同時對中學數學教學具有產生較好地導向作用．