Question

過點M（3，0）作直線l與圓x²+y²=25交于A、B兩點．
（1）若點P是線段AB的中點，求點P的軌跡方程；
（2）求直線l的傾斜角為何值時△AOB的面積最大，并求這個最大值．

Answer 1

分析：（1）設出G的坐標，利用Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．說明P點的軌跡為以G為圓心

3

2

為半徑的圓，得到P的軌跡方程．
（2）令|OP|=h，由題意知0＜h≤3，求出△AOB的面積的表達式，利用二次函數在閉區間上的最大值求解即可．

解答：解：（1）∵P是AB中點，∴OP⊥AB，取OM中點G，則在Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．
∴P點的軌跡為以G為圓心

3

2

為半徑的圓，令P（x，y）則(x-

3

2

)2+y2=

9

4

，
即x²-3x+y²=0．
經檢驗知：AB為x軸及AB∥y軸均滿足上式，∴P點的軌跡為x²-3x+y²=0…（6分）
（2）令|OP|=h，由題意知0＜h≤3，
在Rt△APO中，|AP|=

25-h2

即|AB|=2

25-h2

，S△ABO=

1

2

|AB|•|OP|=

1

2

×2

25-h2

•h=h

25-h2

(0＜h≤3)=

-h4+25h2

（0＜h≤3）．
令t=h²則 0＜t≤9，
易知S△ABO=

-t2+25t

，在 0＜t≤9時單調遞增．
∴當t=9，即直線AB垂直x軸時，S_△ABOmax=12，此時l的傾斜角為90°．

點評：本題是綜合題，考查曲線軌跡方程的求法，轉化思想的應用，二次函數閉區間最值的求法，考查計算能力．