Question

（2012•德州一模）如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱錐C-MBD的體積．

Answer 1

分析：（I）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）取CD中點G，連接MG，利用V_C-MBD=V_M-BCD，即可求得結論．

解答：（I）證明：取DE中點N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD．
由已知AB∥CD，AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；

（II）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=

2

在△BCD中，BD=BC=

2

，CD=2，
因為BD²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因為BD∩DE=D，所以BC⊥平面BDE，
（Ⅲ）解：取CD中點G，連接MG，則MG∥DE且MG=

1

2

DE=2
∵ED⊥平面ABCD
∴MG⊥平面ABCD
∵BC⊥DB且BC=BD=

2

∴V_C-MBD=V_M-BCD=

1

3

S△BCD×MG=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

×2=

2

3

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計算，熟練掌握空間直線與平面不同位置關系（平行和垂直）的判定定理、性質定理、定義及幾何特征是解答本題的關鍵．