Question

已知{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．?dāng)?shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由{a_n}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a₃•a₆=55，a₂+a₇=16．求出數(shù)列的首項及公差，代入可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）及數(shù)列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首項為1，公比為的等比數(shù)列，求出數(shù)列{b_n}通項，進(jìn)而由，求出數(shù)列{c_n}的通項，進(jìn)而用錯位相減法，求出數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則依題知d＞0，
由a₃+a₆=a₂+a₇=16．且a₃•a₆=55，
得a₃=5，a₆=11，d=2
∴a_n=a₃+2（n-3）=2n-1    …（4分）
（2）由（1）得：a_n=2n-1（n∈N^*）．
b₁=1，當(dāng)n≥2時，，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=
因而，n∈N^*．
 =，…（7分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=
令T_n=①
則=②
①-②得：=
=…（10分）
∴．
∴．   …（12分）
點評：本題考查的知識點是等差數(shù)列與等比數(shù)列，根據(jù)已知求出各個數(shù)列的通項公式，并根據(jù)數(shù)列{c_n}的通項，選用錯位相減法求和是解答的關(guān)鍵．