Question

已知曲線C₁的參數方程是

x=2cos? y=3sin?

（φ為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=2．正三角形ABC的頂點都在C₂上，且A、B、C以逆時針次序排列，點A的極坐標為（2，

π

3

）
（Ⅰ）求點A、B、C 的直角坐標；
（Ⅱ）設P為C₁上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點A、B、C都在以原點為圓心、以2為半徑的圓上，x軸的正半軸到0A、OB、OC的角分別為

π

3

、

π

3

+

2π

3

、

π

3

+

4π

3

，從而求得他們的直角坐標．
（2）設點P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，則 S=12cos²∅+27sin²∅+12=15sin²∅+24，再由正弦函數的有界性，求得|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得：A（2cos

π

3

，2sin

π

3

）、B（ 2cos（

π

3

+

2π

3

），2sin（

π

3

+

2π

3

） ）、C（ 2cos（

π

3

+

4π

3

 ），2sin（

π

3

+

4π

3

））．
即：A（1，

3

）、B（-2，0）、C（1，-

3

）．
（2）設點P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，則 S=12cos²∅+27sin²∅+12=15sin²∅+24，
因為0≤sin²∅≤1，所以S的取值范圍是：[24，39]．

點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，正弦函數的有界性，屬于中檔題．