Question

15、如圖：點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對角線BC₁上運動，則下列四個命題：
①三棱錐A-D₁PC的體積不變；
②A₁P∥面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④面PDB₁⊥面ACD₁．
其中正確的命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：如右圖，對于①，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，以P為頂點，平面AD₁C為底面，易得；對于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明平面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；
對于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾；對于④，容易證明PDB₁⊥面ACD₁，從而可以證明面面垂直．

解答：解：對于①，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點到平面AD₁C的距離
均相等，所以以P為頂點，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變；正確；
對于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；正確；
對于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾；錯誤；對于④，連接DB₁，容易證明DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知：正確．
故答案為：①②④

點評：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法；線面平行、垂直的判定，要注意使用轉化的思想．