Question

已知函數f(x)=22x-

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•2x+1-6，其中x∈[0，3]，
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數a滿足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設t=2^x，利用換元法，將求已知函數的最值問題，轉化為求關于t的二次函數求最值問題，最后利用配方法求二次函數最值即可；（2）f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，只需a小于或等于f（x）的最小值，利用（1）的結論即可得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=（2^x）²-5•2^x-6（0≤x≤3），
令t=2^x，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8
所以有：f（x）=h(t)=t2-5t-6=(t-

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)2-

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（1≤t≤8）
所以：當t∈[1，

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]時，h（t）是減函數；當t∈(

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，8]時，h（t）是增函數；
∴f(x)min=h(

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)=-

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，f（x）_max=h（8）=18．
（2）∵f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，
所以：a≤f(x)min=-

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．
即a≤-

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點評：本題考查了換元法求函數的值域，配方法求二次函數最值，不等式恒成立問題的解法，通過換元實現函數轉化是解決本題的關鍵