Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．
（1）若E，F分別為 AB，AC的中點，求證：EF∥平面BDC；
（2）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（3 ）設BD=1，求三棱錐D-ABC的表面積．

Answer 1

解：（1）在右圖中，因為△ABC中，E、F分別為 AB、AC的中點，．
∴EF∥BC
∵EF?平面BDC，BC?平面BDC，
∴EF∥平面BDC；
（2）∵左圖中，AD是等腰Rt△ABC斜邊BC的中線
∴CD⊥AD，在右圖中依然成立
又∵右圖中，CD⊥BD，AD、BD是平面ABD內的相交直線
∴CD⊥平面ADB
∵CD?平面BDC，∴平面ADB⊥平面BDC；
（3）由（2）知，AD、BD、CD兩兩垂直
∵BD=1，∴AD=BD=CD=1
∴三角形ADC的面積S_△ADC=×AD×CD=，
同理可得S_△BDC=S_△ABD=
∵Rt△ADC中，AC=，同理可得AB=BC=
∴△ABC是邊長為的等邊三角形，面積為S_△ABC==
由此可得三棱錐D-ABC的表面積為：S_△ADC+S_△BDC+S_△ABD+S_△ABC=．
分析：（1）利用三角形中位線定理，可得EF∥BC，結合線面平行的判定定理，可證出EF∥平面BDC；
（2）由CD與AB、AD兩條相交直線垂直，得到CD⊥平面ADB，再根據平面ADC經過平面ADB的垂線，可得平面ADB⊥平面BDC；
（3）根據題意不難得到該三棱錐有三個面是全等的等腰直角三角形，另一個面是等邊三角形，由此結合BD=1即可得到三棱錐D-ABC的表面積．
點評：本題以等腰直角三角形沿斜邊上的高折疊為例，考查了線面平行的判定、面面垂直的判定和幾何體的表面積求法等知識點，屬于基礎題．