Question

已知函數f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函數f₃（x）的極值；
（Ⅱ）判斷函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上零點的個數，并給予證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數f₃（x）的導函數，在定義域內根據導函數的符號判斷原函數在不同區間內的單調性，由單調性分析極值；
（Ⅱ）由fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0可知函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上有零點，然后利用導函數的符號得到函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上單調遞增，從而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵當x＞1時，f3′(x)＞0；當0＜x＜1時，f3′(x)＜0．
∴當x=1時，f₃（x）取得極小值-3，無極大值；
（Ⅱ）函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上有且只有一個零點．
證明：
∵fn(

n

)=(

n

)3-n

n

-1=-1＜0，
fn(

n+1

)=(

n+1

)3-n

n+1

-1=

n+1

-1＞0，
fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0，∴函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上必定存在零點．
∵fn′(x)=3x2-n，∴當x∈(

n

，

n+1

)時，fn′(x)＞3(

n

)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上單調遞增，
∴函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上的零點最多一個．
綜上知：函數f_n（x）在區間(

n

，

n+1

)上存在唯一零點．

點評：本題主要考查函數在某點取得極值的條件，考查了零點存在性定理，單調函數在區間[a，b]上滿足f（a）f（b）＜0，則函數在區間（a，b）上有唯一零點，是中檔題．