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已知函數f(x)=
2x+1
2x-1

(1)證明:函數f(x)在區間(
1
2
,+∞)上單調遞減.
(2)若對于區間[1,3]上每一x值,不等式f(x)>|x-2|+m恒成立,求m的取值范圍.
分析:(1)根據單調性的定義,設
1
2
<x1<x2,作差f(x1)-f(x2),進行化簡,判斷其符號,從而證得結論;
(2)利用含有絕對值的不等式的解法將不等式f(x)>|x-2|+m恒成立,轉化為m<f(x)+x-2對x∈[1,3]恒成立且m<f(x)-x+2對x∈[1,3]恒成立,進而轉化為求函數的最值,最后求兩種情況的交集,即可求得m的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
2x+1
2x-1
=1+
1
x-
1
2

1
2
<x1<x2
則f(x1)-f(x2)=(1+
1
x1-
1
2
)-(1+
1
x2-
1
2
)=
x2-x1
(x1-
1
2
)(x2-
1
2
)

1
2
<x1<x2
∴x2-x1>0,x1-
1
2
>0,x2-
1
2
>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函數f(x)在區間(
1
2
,+∞)上單調遞減;
(2)∵對于區間[1,3]上每一x值,不等式f(x)>|x-2|+m恒成立,
∴|x-2|<f(x)+m,即-f(x)+m+2<x<f(x)+2-m對x∈[1,3]恒成立,
①-f(x)+m+2<x對x∈[1,3]恒成立,即m<f(x)+x-2對x∈[1,3]恒成立,
∴m<[f(x)+x-2]min
令g(x)=f(x)+x-2=x+
1
x-
1
2
-1=x-
1
2
+
1
x-
1
2
-
1
2
≥2
(x-
1
2
)
1
x-
1
2
-
1
2
=
3
2

當且僅當x-
1
2
=
1
x-
1
2
,即x=
3
2
時取等號,
∴m<
3
2

②x<f(x)+2-m對x∈[1,3]恒成立,即m<f(x)-x+2對x∈[1,3]恒成立,
∴m<[f(x)-x+2]min
由(1)可知y=f(x)在[1,3]上單調遞減,y=-x+2在[1,3]上單調遞減,
∴h(x)=f(x)-x+2=
1
x-
1
2
-x+3在[1,3]上單調遞減,
∴h(x)min=h(3)=
1
3-
1
2
-3+3=
2
5

∴m<
2
5

綜合①②,可得m<
2
5

故實數m的取值范圍為m<
2
5
點評:本題考查了函數單調性的定義,函數的恒成立問題.對于函數單調性的證明一般選用定義法,要注意證明過程的步驟,特別是作差以后要進行化簡,直到能直接判斷符號為止.對于恒成立問題,一般選用參變量分離法轉化為求函數的最值.屬于中檔題.
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x
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,則f[f(-2)]=
3
3

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3
2
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當x=
3
3
時,函數f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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