Question

已知

m

=(sinA，cosA)，

n

=(-sinB，cosB)，

m

•

n

=cos2c，且A、B、C分別為a、b、c 三邊所對的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比數列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則及兩角和的余弦函數公式化簡

m

•

n

=cos2C，得到cos2C=2cos²C-1=-cosC，化簡后即可求出cosC的值，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比數列，根據等比數列的性質得到sin²C=sinAsinB，根據正弦定理得到c²=ab，再根據向量的減法法則化簡已知的

CA

•(

AB

-

AC

)=18，利用平面向量的數量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數，c²=ab及ab的值代入即可列出關于a+b的方程，求出方程的解即可得到a+b的值．

解答：解：（1）

m

•

n

=-sinAsinB+cosAcosB=cos(A+B)
對于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴cos（A+B）=-cosC
∴

m

•

n

=-cosC
又∵

m

•

n

=cos2C，
∴cos2C=2cos²C-1=-cosC，
又C∈（0，π），解方程得cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比數列，得sin²C=sinAsinB
由正弦定理得c²=ab，
∵

CA

•(

AB

-

AC

)=18，
∴

CA

•

CB

=18，
得abcosC=18，即ab=36，則c=6
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴36=（a+b）²-3×36，即（a+b）²=12²，
∴a+b=12．

點評：本題主要考查學生掌握平面向量的數量積的運算法則及向量的減法法則，掌握等差數列的性質，靈活運用兩角和與差的正弦函數公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．