Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=9n-n²．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

n(12-an)

（n∈N⁺），數列{b_n}的前n項和為T_n，若對任意的n∈N⁺，均有T_n＞

m2-3m+7

20

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，可求得a₁=S₁=8；當n≥2時，可求得a_n=S_n-S_n-1=-2n+10，檢驗后知n=1時適合，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（2）由a_n=10-2n，利用裂項法可求得b_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），從而T_n=

1

2

（1-

1

n+1

），T_n＞

m2-3m+7

20

恒成立?（T_n）_min＞

m2-3m+7

20

，當n=1時，（T_n）_min=

1

4

，從而通過解不等式

1

4

＞

m2-3m+7

20

即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=9n-n²-（-n²+11n-10）=-2n+10…（5分）
又a₁=S₁=8，適合上式 …（6分）
所以a_n=10-2n（n∈N^*）…（7分）
（2）因為b_n=

1

n(2n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

）…（10分）
所以T_n=

1

2

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

2

（1-

1

n+1

）…（12分）
又因為對任意的n∈N^*，T_n＞

m2-3m+7

20

恒成立，
所以（T_n）_min＞

m2-3m+7

20

…（13分）
因為當n=1時，（T_n）_min=

1

4

，所以

1

4

＞

m2-3m+7

20

…（14分）
解之得1＜m＜2 …（16分）

點評：本題考查數列的求和，著重考查裂項法求和與函數恒成立問題，考查推理分析與抽象思維能力，屬于難題．