Question

已知定義在區間[-

π

2

，π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，函數f（x）=sinx．
（Ⅰ）求f(-

π

2

)，f(-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求y=f（x）的函數表達式；
（Ⅲ）如果關于x的方程f（x）=a有解，那么將方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為M_a，求M_a的所有可能取值及相對應的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中定義在區間[-

π

2

，π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，我們易得f(-

π

2

)=f(π)，f(-

π

4

)=f(

3

4

π)，結合當x≥

π

4

時，函數f（x）=sinx，即可求出答案．
（II）根據已知中在區間[-

π

2

，π]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，函數f（x）=sinx．我們可根據函數圖象對稱變換法則求出函數在區間[-

π

2

，

π

4

]上的解析式，進而得到y=f（x）的函數表達式；
（Ⅲ）作函數f（x）的圖象，分析函數的圖象得到函數的性質，分類討論后，結合方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為M_a，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f(-

π

2

)=f(π)=sinπ=0
f(-

π

4

)=f(

3

4

π)=sin

3

4

π=

2

2

…（4分）
（Ⅱ）∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，
又∵當x≥

π

4

時，函數f（x）=sinx．
∴當-

π

2

≤x＜

π

4

時，
f(x)=f(

π

2

-x)=sin(

π

2

-x)=cosx
f（x）=

sinx，x∈[ π 4 ，π) cosx，x∈[- π 2 π 4 )

…（8分）
（Ⅲ）作函數f（x）的圖象（如圖），顯然，若f（x）=a有解，則a∈[0，1]
①0≤a＜

2

2

，f（x）=a有解，M_a=

π

2

②a=

2

2

，f（x）=a有三解，M_a=

3

4

π
③

2

2

＜a＜1，f（x）=a有四解，M_a=π
④a=1，f（x）=a有兩解，M_a=

π

2

…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求法--圖象變換法，根的存在性及根的個數的判斷，其中根據已知函數y=f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱，當x≥

π

4

時，函數f（x）=sinx．根據對稱變換法則，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．