Question

數列{a_n}中，a₁=8,a₄=2,且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0(n∈N^*）.

(1)求數列{a_n}的通項公式;

(2)設b_n=(n∈N^*),S_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整數m,使得對任意的n均有S_n＞總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:(1)∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0,

    ∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n(n∈N^*).

 

    ∴{a_n}是等差數列.設公差為d，

    又a₁=8,a₄=a₁+3d=8+3d=2,

    ∴d=-2.

    ∴a_n=-2n+10.

    (2)b_n==

    =(-),

    ∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=［(1-)+(-)+…+(-)］

    =(1-)=.

    假設存在整數m滿足S_n＞總成立.

    又S_n+1-S_n=-

    =＞0,

    ∴數列{S_n}是單調遞增的.

    ∴S₁=為S_n的最小值，故＜,

    即m＜8.

    又m∈N^*,

    ∴適合條件的m的最大值為7.