Question

已知數列{a_n}，{b_n}中，對任何正整數n都有：．
（1）若數列{b_n}是首項為1和公比為2的等比數列，求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是否為等比數列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意，數列{b_n}的通項公式為，…（2分）
由，
可得（n≥2），
兩式相減可得，即a_n=n．…（5分）
當n=1時，a₁=1，從而對一切n∈N^*，都有a_n=n．…（6分）
所以數列{a_n}的通項公式是a_n=n．…（7分）
（2）法1：設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，，∴（n≥2）
∴…（11分）
要使是一個與n無關的常數，當且僅當a₁=d≠0…（12分）
即：當等差數列{a_n}的滿足a₁=d≠0時，數列{b_n}是等比數列，其通項公式是；…（13分）
當等差數列{a_n}的滿足a₁≠d時，數列{b_n}不是等比數列． …（14分）
法2：設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得，，即（n≥2），若數列{b_n}是等比數列，
則…（11分）
要使上述比值是一個與n無關的常數，須且只需a₁=d≠0．…（12分）
即：當等差數列{a_n}的滿足a₁=d≠0時，數列{b_n}是等比數列，其通項公式是，…（13分）
當等差數列{a_n}的滿足a₁≠d時，數列{b_n}不是等比數列． …（14分）
分析：（1）確定數列{b_n}的通項，利用再寫一式，兩式相減的方法，可求數列{a_n}的通項公式；
（2）確定b_n的表達式，利用要使是一個與n無關的常數，當且僅當a₁=d≠0，即可得到結論．
點評：本題考查數列的通項，考查等比數列的確定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．