Question

無論a取什么實數，方程x²+2y²-ax+ay-a-1=0表示的橢圓都和一條定直線相交，且截得的弦長為定值，則這個定值是

2 2

3

．

Answer 1

分析：由題意可得，x²+2y²-ax+ay-a-1=（x²+2y²-1）-a（x-y+1）=0，方程所表示的曲線是橢圓x2+

y2

1 2

=1與直線x-y+1=0，聯立直線與橢圓方程可求交點坐標，代入弦長公式

解答：解：∵x²+2y²-ax+ay-a-1=（x²+2y²-1）-a（x-y+1）=0
方程所表示的曲線是橢圓x2+

y2

1 2

=1與直線x-y+1=0

x2+2y2=1 x-y+1=0

可得3x²+4x+1=0
解可得

x1=-1 y1=0

或

x2=- 1 3 y2= 2 3

弦長為：

(-1+ 1 3 )2+(0- 2 3 )2

=

2 2

3

故答案為：

2 2

3

點評：本題主要考查了直線與橢圓的相交求弦長，解題的關鍵是由曲線方程系求出直線與橢圓的方程，屬于綜合性試題．