Question

對于函數f(x)=

x-1

x+1

，設f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）寫出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表達式；
（2）根據（I）的結論，請你猜想并寫出f_4n-1（x）的表達式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，把f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），依次看作一個整體依次代入即可求得．
（2）由（1）得出f_n（x）是以4為周期，又4n-1=4（n-1）+3，f_4n-1（x）=f_4n+3（x）=f₃（x）．
（3）由（1）得出f_n（x）是以4為周期，求出f₂₀₁₀（x）的解析式，列出方程，求出x的解集．

解答：解（1）∵f(x)=1-

2

x+1

∴f2(x)=1-

2

f(x)+1

=1-

x+1

x

=-

1

x

，f3(x)=

1+x

1-x

，
f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=

x-1

x+1

；
（2）根據（I）知：f_n（x）是以4為周期；
∴f4n-1(x)=f3(x)=

1+x

1-x

；
（3）∵f_n（x）是以4為周期，∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-

1

x

∴-

1

x

=x，∴x²=-1，
∴原方程的解集為{i，-i}．

點評：本題主要考查函數的解析式，結合了周期性，用列出前幾項的方法找到周期，這是找周期的最基本的方法，本題把這種展示的很好，求解析式屬基礎題．