Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形是一個面積為8的正方形（記為Q）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C的左準線與x軸的交點，過點P的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當線段MN的中點落在正方形Q內（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設出橢圓的方程，根據正方形的面積求出橢圓中參數a的值且判斷出參數b，c的關系，根據橢圓的三個參數的關系求出b，c的值得到橢圓的方程．
（II）設出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯立，利用二次方程的韋達定理得到弦中點的坐標，根據中點在正方形的內部，得到中點的坐標滿足的不等關系，求出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）依題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距為2c，
由題設條件知，a²=8，b=c
所以b2=

1

2

a2=4
故橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（II）橢圓C的左準線方程為x=-4，所以點P的坐標為（-4，0）
顯然直線l的斜率存在，所以設直線l的方程為y=k（x+4）
如圖，設點M，N的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段MN的中點為G（x₀，y₀）

由

y=k(x+4) x2 8 + y2 4 =1

得（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0．①
由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②
因為x₁，x₂是方程①的兩根，
所以x1+x2=-

16k2

1+2k2

，于是
x0=

x1+x2

2

= -

8k2

1+2k2

，y0=k(x0+4)=

4k

1+2k2

．
因為x0= -

8k2

1+2k2

≤0，所以點G不可能在y軸的右邊，
又直線F₁B₂，F₁B₁方程分別為y=x+2，y=-x-2
所以點G在正方形Q內（包括邊界）的充要條件為

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥   8k2 1+2k2 - 2

亦即

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

解得

- 3 -1

2

≤k≤

3 - 1

2

，此時②

- 3 +1

2

≤k≤

3 +1

2

．
故直線l斜率的取值范圍是[

- 3 +1

2

，

3 - 1

2

]

點評：求圓錐曲線的方程時，一般利用待定系數法；解決直線與圓錐曲線的位置關系時，一般采用的方法是將直線方程與圓錐曲線方程聯立得到關于某個未知數的二次方程，利用韋達定理來找突破口．