Question

將4個小球任意放入3個盒子中
（1）若小球和盒子均不同，求每個盒子中至少有一個小球的概率
（2）若小球相同，盒子不同且編號為甲、乙、丙，求恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的概率
（3）若小球和盒子均相同，求每個盒子都不空的概率．

Answer 1

解：（1）若小球和盒子均不同，總的放法有3×3×3×3=81種，要保證每個盒子中至少有一個球，可將四個球分為三份，總的分法有C₄²=6種，然后再將此三份球分別放入三個盒子，放法有A₃³=6種，故每個盒子中至少有一個小球的概率概率是=
（2）由于小球相同，盒子不同且編號為甲、乙、丙，故計算總的放法可分為四類，若四個小球放入同一個盒子，有三種放法，四個小球分為兩組放入，分法有二，若一組三個，一組一個，則放法有A₃³=6種，若分兩組各2個，由于兩組之間沒有區別，故放法有三種，若四球分為三組，則不同放法有三種，故總的放法有3+6+3+3=15種，恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的放法有一種，故恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球的概率為
（3）若小球和盒子均相同，不同放法區別是小球分法有幾種，由于小球可能四個在一起，分為兩組分別為（3，1），（2，2），分為三組（2，1，1）共四種分法，即總的放法有四種，每個例子都不空的放法有一種，故小球和盒子均相同，求每個盒子都不空的概率是
分析：（1）先計算出4個小球任意放入3個盒子中的總的放法，由分步原理可以得出其方法種數是3×3×3×3=81，應將四個球分為三份，再作一個全排列；
（2）若小球相同，盒子不同且編號為甲、乙、丙，由于小球相同，故分組時小球只有數量上的不同，可分為四類計算，若四個小球放入同一個盒子，四個小球分為兩組，四個小球分為三組，計算出總的放法，事件“恰好甲中有一球，乙中有一球，丙中有兩球”只有一種，計算出概率
（3）若小球和盒子均相同，不同放法區別是小球分法有幾種，由于小球可能四個在一起，分為兩組分別為（3，1），（2，2），分為三組（2，1，1）共四種分法，即總的放法有四種，每個例子都不空的放法有一種，由公式計算出概率
點評：本題考查等可能事件的概率，理解題意，由計數原理與排列數組合數公式求出基本事件數是解題的關鍵，本題考查了分類計數的技巧，要注意分類做到不重不漏．本題情況較多，計數時要考慮嚴謹．