Question

（2012•江蘇二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點P在曲線xy=1（x＞0）上，點P在x軸上的射影為M．若點P在直線x-y=0的下方，當

OP2

OM-MP

取得最小值時，點P的坐標為

（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

．

Answer 1

分析：設點P（t，

1

t

），將

OP2

OM-MP

化成關于t的表達式，結合題意得t-

1

t

是正數，利用基本不等式可求出

OP2

OM-MP

的最小值為2

2

，根據等號成立的條件求出t的值，從而得到此時點P的坐標．

解答：解：設點P（t，

1

t

），得OP²=t²+

1

t2

，而OM=t，MP=

1

t

∴

OP2

OM-MP

=

t2+ 1 t2

t- 1 t

=

(t - 1 t  )2+2

t- 1 t

=（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

∵點P在直線x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-

1

t

是正數，所以（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

≥2

2

當且僅當t-

1

t

=

2

t- 1 t

=

2

時，不等式的等號成立，解之得t=

6 - 2

2

，

1

t

=

6 + 2

2

∴點P的坐標為（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）
故答案為：（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

點評：本題通過曲線上一個動點，求關于線段OP、OM、MP的分式的最小值，著重考查了曲線與方程、利用基本不等式求最值和簡單的演繹推理等知識，屬于中檔題．